NERD'S on line: novembro 2010

quinta-feira, 11 de novembro de 2010

Exercicios de P.G.

01-) Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...).

02-). Na P. G. estritamente crescente (a₁, a₂, a₃, ...) tem-se a₁ + a₆ = 1025 e a₃ . a₄ = 1024. Determine a razão da progressão geométrica.

03-) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será:

a) 256

b) 64

c) 16

d) 243

e) 729

04-) Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161.

05-). (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a₃ = 40 e a₆ = -320. A soma dos oito primeiros termos é:

a) -1700

b) -850

c) 850

d) 1700

e) 750

quinta-feira, 4 de novembro de 2010

Classificação das progressões geométricas

As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:

P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a₁ negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:

P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a₁ negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:

P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:

P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zeroe todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:

P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

A soma dos infinitos termos de uma P.G

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando

| q | < 1

. Sua soma é:

$S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}$

Agora, se $q \geq 1$ e

a 1 > 0

então sua soma é mais infinito e se $q \geq 1$ e

a 1 < 0

, sua soma é menos infinito.

$S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0; \end{array}\right.$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso $q\ge-1$ , por exemplo. Observe também que

q

pode ser complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1$ , veja notação de somatório

$S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:

$S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}\,$

Multiplique pela razão(q):

$q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n\,$

Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:

$q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1\,$

o que é equivalente a:

$\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,$

Divida ambas os termos por: : $(q-1)\neq 0$ e o resultado segue.

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante $q\,\!$ . Esta constante $q\,\!$ é chamada razão da progressão geométrica. A letra quociente. foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.