Exercicios de P.G.

01-) Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...). 

02-). Na P. G. estritamente crescente (a₁, a₂, a₃, ...) tem-se a₁ + a₆ = 1025 e a₃ . a₄ = 1024. Determine a razão da progressão geométrica.

03-) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será:

      a) 256

      b) 64

      c) 16

      d) 243

      e) 729

04-) Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161. 

05-). (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a₃ = 40 e a₆ = -320. A soma dos oito primeiros termos é:

      a) -1700

      b) -850

      c) 850

      d) 1700

      e) 750

Classificação das progressões geométricas

As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:

• P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
• P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

 Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a₁ negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:

• P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
• P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
• P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10

 Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a₁ negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:

• P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
• P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:

• P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
• P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zeroe todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:

• P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
• P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

 

A soma dos infinitos termos de uma P.G

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. Sua soma é:

Agora, se e a₁ > 0 então sua soma é mais infinito e se e a₁ < 0, sua soma é menos infinito.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso , por exemplo. Observe também que q pode ser complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

, veja notação de somatório

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:

Multiplique pela razão(q):

Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:

o que é equivalente a:

Divida ambas os termos por: : e o resultado segue.

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante é chamada razão da progressão geométrica. A letra  quociente. foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

4- Defina e exemplifique:

Axioma: Na matemática é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal.

http://pt.wikiversity.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/%C3%8Dndice/Axiomas_e_exemplos
Teorema: Consiste em apenas uma implicação que pode ser provada.

 http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice1/exemplo.htm#ex1



5- No filme, qual o objetivo do estudante ao treinar tênis com as marcações na parade?

Que a força que ele exercia fazia com que a bola batisse ee voltava para a direção que ele tanto queria

6- Séries lógicas... O que são ? Exemplifique


É uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e material.




7- Pesquise três diferentes sequências  e mostre dois jeitos diferentes de resolver uma delas.

Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

 Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.

  

8- Escreva, em poucas linhas, a sua opinião crítica sobre o filme.

  Achamos o filme dinamico, as tramas foram bem boladas; exeto a obsseção do garoto ao professor.

3- Círculos, peixe, triângulo e triângulos. Qual a sequência formada no filme? Ela possui alguma regularidade? Explique com suas palavras.

Sim, eles possuiam regularidades, um tipo de sequencia... Ao qual ligava um ao outro dando um mistério e um enigma.

2- O que se pode concluir sobre LÓGICA MATEMÁTICA no nosso dia a dia segundo a mensagem deixada no filme?

A matematica é necessária e fundamental em nosso dia-a-dia. É usado na música, em compras, enfim.. em tudo! O mundo gira em torno de matemática!

1- Pesquise qual a sequência de Fibonacci e explique-a.

Na sequência de Fibonacci, o termo seguinte é a soma do último termo com o penúltimo, começando por 1:

1º) 1
2º) = 1 + 0 = 1
3º) = 1 + 1 = 2
4º) = 2 + 1 = 3
5º) = 3 + 2 = 5
6º) = 5 + 3 = 8
7º) = 8 + 5 = 13
8º) = 13 + 8 = 21
9º) = 21 + 13 = 34
10º) = 34 + 21 = 55

E quanto mais avançar, mais a razão do nº seguinte sobre o último nº, vai se aproximar do Nº de Ouro = (1 + Raiz de 5) / 2 = 1,6180339887498948482045868343656...

2 / 1 = 2
3 / 2 = 1,5
5 / 3 = 1,666...
8 / 5 = 1,6
13 / 8 = 1,625
21 / 13 = 1,615
34 / 21 = 1,619...
55 / 34 = 1,6176...
89 / 55 = 1,6181818...
144 / 89 = 1,6797...
233 / 144 = 1,61805...
377 / 233 = 1,61802...
610 / 377 = 1,618037...
987 / 610 = 1,618032...
1597 / 987 = 1,6180344...
2584 / 1597 = 1,6180338...

Fórmulas da P.A. (PAIXÃO ABSURDA)

Por uma vez eu amei de verdade
O amor me envolveu, multiplicando felicidades
Adicionou a fórmula da tranquilidade na minha vida
Amor radical, louco, e sem maldade

Subtraí todos os termos de tristeza
Tornei-me "cem por cento" apaixonado
Por dezenas de vezes tornei minha vida uma P.A. (Paixão Absurda)
Tentando resolver a progressão dos enamorados

Pois esse sentimento não é problema
Pois é amor que torne-se com o tempo finita
Fazendo com que meus receios sejam fórmulas fracionadas

Por x vezes ou mais estou a sorrir
Meu destino se tornou outra propriedade
Onde só há números exatos, inteiros, nenhum decimal

Exercicio de uma P.A. Finita

1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

2-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).

Você conhece o número mágico?

1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:

Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297

Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089  (o número mágico)

Respostas dos exercícios P.A.

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 9e a razão é 4, calcule o 13^o termo:
R: 57

2) Dados a₈ =80 e r = 4, calcule o primeiro termo:
R:104

3) Sendo a₃ =18e a₇ = 49, calcule o valor da razão:
R: - 325

 4) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 25 e a razão é -16, a posição ocupada pelo elemento - 23 é:    
R: - 23 é o termo  
  
 5)O valor de x para que a seqüência (6x, x+8, 4x) seja uma PA é:
R: x+8-6x=4x-x-8 = 2

Exercícios - PA V

05. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:

      a) 18,88

      b) 9,5644

      c) 9,5674

      d) 18,9

      e) 21,3

Exercícios - PA IV

04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a₄ = 12 e a₉ = 27. Calcular a₅.

Exercícios - PA III

03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.

Exercícios - PA II

02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:

      a) 4

      b) 7

      c) 15

      d) 31

      e) 42

Exercícios - PA

01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:

      I.   3, 7, 11, ...

      II.  2, 6, 18, ...

      III. 2, 5, 10, 17, ...

      O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:

      a) 15, 36 e 24

      b) 15, 54 e 24

      c) 15, 54 e 26

      d) 17, 54 e 26

      e) 17, 72 e 26

Soma de uma progressão aritimética

Fórmulas P.A.

Termo geral: a(n) = a1 + (n-1).R , a1= 1º termo , R= razão ,n=termo

Soma: S= ( a1 + a(n) ).n/2

Propriedades: ( a1 ,a2,a3) ...

a1 + a3 = 2.a2

Quando o número de termos é impar... o termo central = média aritimética dos termos.

a2 = (a1 + a2 + a3)/3

a3= (a1 + a2 + a3 + a4 + a5)/5

Progressão aritimética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante . O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto(da subtração
Alguns exemplos de progressão aritmética:

• , em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os numeros que vão crescendo)\,\!.
• , em que .
• , onde .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, a_n = (a_{n − 1} + a_{n + 1}) / 2.