NERD'S on line

quinta-feira, 11 de novembro de 2010

Exercicios de P.G.

01-) Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...).

02-). Na P. G. estritamente crescente (a₁, a₂, a₃, ...) tem-se a₁ + a₆ = 1025 e a₃ . a₄ = 1024. Determine a razão da progressão geométrica.

03-) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será:

a) 256

b) 64

c) 16

d) 243

e) 729

04-) Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161.

05-). (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a₃ = 40 e a₆ = -320. A soma dos oito primeiros termos é:

a) -1700

b) -850

c) 850

d) 1700

e) 750

quinta-feira, 4 de novembro de 2010

Classificação das progressões geométricas

As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:

P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a₁ negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:

P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a₁ positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a₁ negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:

P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:

P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zeroe todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:

P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

A soma dos infinitos termos de uma P.G

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando

| q | < 1

. Sua soma é:

$S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}$

Agora, se $q \geq 1$ e

a 1 > 0

então sua soma é mais infinito e se $q \geq 1$ e

a 1 < 0

, sua soma é menos infinito.

$S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0; \end{array}\right.$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso $q\ge-1$ , por exemplo. Observe também que

q

pode ser complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1$ , veja notação de somatório

$S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:

$S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}\,$

Multiplique pela razão(q):

$q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n\,$

Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:

$q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1\,$

o que é equivalente a:

$\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,$

Divida ambas os termos por: : $(q-1)\neq 0$ e o resultado segue.

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante $q\,\!$ . Esta constante $q\,\!$ é chamada razão da progressão geométrica. A letra quociente. foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

quinta-feira, 28 de outubro de 2010

4- Defina e exemplifique:

Axioma: Na matemática é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal.

http://pt.wikiversity.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/%C3%8Dndice/Axiomas_e_exemplos
Teorema: Consiste em apenas uma implicação que pode ser provada.

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice1/exemplo.htm#ex1

5- No filme, qual o objetivo do estudante ao treinar tênis com as marcações na parade?

Que a força que ele exercia fazia com que a bola batisse ee voltava para a direção que ele tanto queria

6- Séries lógicas... O que são ? Exemplifique

É uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e material.

7- Pesquise três diferentes sequências e mostre dois jeitos diferentes de resolver uma delas.

Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.

8- Escreva, em poucas linhas, a sua opinião crítica sobre o filme.

Achamos o filme dinamico, as tramas foram bem boladas; exeto a obsseção do garoto ao professor.

3- Círculos, peixe, triângulo e triângulos. Qual a sequência formada no filme? Ela possui alguma regularidade? Explique com suas palavras.

Sim, eles possuiam regularidades, um tipo de sequencia... Ao qual ligava um ao outro dando um mistério e um enigma.